1 Ακολουθίες
1.1 Η έννοια της ακολουθίας
1.1.1 Θεωρία και Ορισμοί
Ακολουθία πραγματικών αριθμών ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών ακεραίων (φυσικών αριθμών) \(N^* = \{1, 2, 3, ..., \nu, ...\}\). Η διαδικασία αυτή αντιστοιχίζει κάθε φυσικό αριθμό \(\nu\) σε έναν πραγματικό αριθμό \(a(\nu)\).
- Όροι της ακολουθίας: Οι τιμές της συνάρτησης, δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί \(a(1), a(2), a(3), ...\), ονομάζονται όροι της ακολουθίας.
- Συμβολισμός: Χρησιμοποιούμε δείκτες για να δηλώσουμε τη θέση κάθε όρου. Ο πραγματικός αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 1 συμβολίζεται ως \(a_1\) και λέγεται πρώτος όρος, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 λέγεται \(a_2\) κ.ο.κ..
- Γενικός ή ν-οστός όρος: Ο πραγματικός αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ένας τυχαίος φυσικός αριθμός \(\nu\) συμβολίζεται με \(a_\nu\) και ονομάζεται γενικός όρος της ακολουθίας. Η ακολουθία συμβολίζεται συνολικά ως \((a_\nu)\).
- Σύνολο Τιμών: Παρόλο που το πεδίο ορισμού είναι οι φυσικοί αριθμοί, οι τιμές που παίρνει η ακολουθία μπορεί να είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί, επομένως το σύνολο τιμών είναι υποσύνολο του \(\mathbb{R}\).
1.1.2 Τρόποι Ορισμού Ακολουθίας
Μια ακολουθία μπορεί να οριστεί με δύο βασικούς τρόπους:
Με τον γενικό της όρο: Δίνεται ένας μαθηματικός τύπος που επιτρέπει τον απευθείας υπολογισμό οποιουδήποτε όρου \(a_\nu\) αν γνωρίζουμε τη θέση του \(\nu\).
Αναδρομικά: Δίνεται ένας αναδρομικός τύπος, δηλαδή μια σχέση που συνδέει τον ν-οστό όρο με έναν ή περισσότερους από τους προηγούμενους όρους του. Για να οριστεί πλήρως μια ακολουθία αναδρομικά, πρέπει να γνωρίζουμε τον αναδρομικό τύπο και τόσους αρχικούς όρους όσους χρειάζονται για να ξεκινήσει ο υπολογισμός των επόμενων.
1.2 Παραδείγματα διαφόρων περιπτώσεων
Περίπτωση Γενικού Όρου: Η ακολουθία \(a_\nu = \nu^2\) αντιστοιχίζει κάθε αριθμό στο τετράγωνό του, δίνοντας τους όρους: \(1, 4, 9, 16, 25, ...\).
Πρακτική Εφαρμογή: Αν υποθέσουμε ότι διανύουμε μια απόσταση 10 μέτρων και κάθε μέρα καλύπτουμε το μισό της απόστασης που απομένει, η απόσταση που διανύουμε τη ν-οστή μέρα δίνεται από τον τύπο \(a_\nu = 10 \cdot (1/2)^\nu\).
Αναδρομική Ακολουθία Fibonacci: Είναι η ακολουθία όπου κάθε όρος (μετά τους δύο πρώτους) προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων: \(a_1=1, a_2=1\) και \(a_{\nu+2} = a_{\nu+1} + a_\nu\), δίνοντας τους όρους \(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...\).
Ακολουθία με εναλλασσόμενο πρόσημο: Μια ακολουθία όπως η \(a_\nu = 2\nu + 3(-1)^\nu\) παράγει όρους με διαφορετική συμπεριφορά ανάλογα με το αν το \(\nu\) είναι άρτιος ή περιττός.
Υπάρχουν ακολουθίες των οποίων ο γενικός όρος δεν βρίσκεται; (εύκολα;)
Δυσκολία εύρεσης γενικού όρου: Υπάρχουν ακολουθίες για τις οποίες ο γενικός τους όρος είναι δύσκολο να βρεθεί με κάποιον μαθηματικό τύπο. Ως παράδειγμα αναφέρεται η ακολουθία Fibonacci (\(1, 1, 2, 3, 5, 8, ...\)), για την οποία σημειώνεται ότι (στο επίπεδο των σχολικών βοηθημάτων) δεν γνωρίζουμε τον γενικό της όρο, αλλά γνωρίζουμε τον αναδρομικό της τύπο (\(\alpha_{\nu+2} = \alpha_{\nu+1} + \alpha_{\nu}\)).
Άλυτα προβλήματα και εικασίες: Υπάρχουν ακολουθίες που ορίζονται από συγκεκριμένους κανόνες, αλλά η συμπεριφορά τους παραμένει ένα άλυτο πρόβλημα των Μαθηματικών. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η εικασία του Collatz.
Η εικασία του Collatz (γνωστή και με άλλα ονόματα) είναι ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα των Μαθηματικών. Ορίζεται ως μια διαδικασία που εφαρμόζεται σε οποιονδήποτε θετικό ακέραιο αριθμό και ακολουθεί τους εξής κανόνες:
- Αν ο αριθμός είναι άρτιος, τον διαιρούμε με το 2.
- Αν ο αριθμός είναι περιττός, τον πολλαπλασιάζουμε επί 3 και προσθέτουμε τη μονάδα (δηλαδή \(3\nu + 1\)).
- Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία με το αποτέλεσμα που προκύπτει κάθε φορά.
Σύμφωνα με την εικασία, ανεξάρτητα από τον αρχικό θετικό ακέραιο που θα επιλέξουμε, η ακολουθία των αριθμών που παράγεται θα καταλήξει αργά ή γρήγορα στον αριθμό 1. Για παράδειγμα, ξεκινώντας από τον αριθμό 18, η ακολουθία εξελίσσεται ως εξής: 18, 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
Παρά το γεγονός ότι η εικασία έχει επιβεβαιωθεί πειραματικά για τεράστιο πλήθος αριθμών, δεν έχει δοθεί ακόμα μια αυστηρή μαθηματική απόδειξη που να καλύπτει όλους τους δυνατούς αριθμούς. Ο διάσημος μαθηματικός Paul Erdős είχε δηλώσει χαρακτηριστικά ότι «τα Μαθηματικά δεν είναι ακόμη ώριμα για τέτοιου είδους προβλήματα», υπονοώντας ότι δεν διαθέτουμε ακόμα τα κατάλληλα εργαλεία για την πλήρη αντιμετώπισή τους.
Ακολουθίες χωρίς προφανή κανονικότητα: Η ακολουθία ορίζεται γενικά ως οποιαδήποτε συνάρτηση με πεδίο ορισμού τους φυσικούς αριθμούς (\(\mathbb{N}^*\)), πράγμα που σημαίνει ότι θεωρητικά μπορεί να υπάρξει οποιαδήποτε αντιστοίχιση χωρίς απαραίτητα να ακολουθεί κάποιο γνωστό πρότυπο (pattern). Επισημαίνεται μάλιστα ότι η αριθμητική και η γεωμετρική πρόοδος αποτελούν ειδικές περιπτώσεις κανονικότητας στις ακολουθίες.
Άρρητοι αριθμοί: Για παράδειγμα, οι άρρητοι αριθμοί (όπως το \(\pi\) ή το \(\sqrt{2}\)) έχουν στην δεκαδική τους μορφή άπειρα ψηφία που δεν παρουσιάζουν καμία περιοδικότητα. Τα ψηφία αυτά αποτελούν μια ακολουθία για την οποία δεν αναφέρεται κάποιος ενιαίος αλγεβρικός ή αναδρομικός τύπος που να παράγει το \(n\)-οστό ψηφίο.
1.3 Ασκήσεις
Να βρείτε τους 4 πρώτους όρους της ακολουθίας με γενικό όρο \(a_\nu = \dfrac{3\nu + 1}{\nu}\).
Υπολογίστε τους 5 πρώτους όρους της ακολουθίας \(a_\nu = \nu^2 - 1\).
Προσδιορίστε τους 5 πρώτους όρους της ακολουθίας \(a_\nu = \sqrt{\nu + 4}\).
Δίνεται η ακολουθία με \(a_1 = 1\) και αναδρομικό τύπο \(a_{\nu+1} = a_\nu^2 + 1\). Βρείτε τους 4 πρώτους όρους της.
Να βρείτε τους 5 πρώτους όρους της ακολουθίας με γενικό όρο \(a_\nu = 2^\nu + 3\).
Δίνεται η ακολουθία με \(a_1 = 2\) και \(a_{\nu+1} = 2a_\nu + 3\). Να υπολογίσετε τους όρους \(a_2, a_3, a_4\) και \(a_5\).
Να ορίσετε αναδρομικά την ακολουθία που έχει γενικό όρο \(a_\nu = 6\nu - 10\).
Βρείτε τον ν-οστό (γενικό) όρο της ακολουθίας που ορίζεται αναδρομικά από τις σχέσεις \(a_1 = 1\) και \(a_{\nu+1} = a_\nu + 3\).
Προσδιορίστε τους 5 πρώτους όρους της ακολουθίας με γενικό όρο \(a_\nu = \dfrac{|\nu^2 - 3\nu|}{\nu + 1}\).
Υπολογίστε τους 5 πρώτους όρους της ακολουθίας \(a_\nu = \nu^2 + 2\nu\).
Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών:
- α. \(\alpha_\nu = 3\nu - 2\)
- β. \(\alpha_\nu = 3^\nu\)
- γ. \(\alpha_\nu = \nu^2 - \nu\)
- δ. \(\alpha_\nu = \dfrac{\nu+1}{\nu}\)
- ε. \(\alpha_\nu = \left(-\dfrac{1}{5}\right)^{\nu-1}\)
- στ. \(\alpha_\nu = 2 - \left(\frac{1}{3}\right)^\nu\)
- ζ. \(\alpha_\nu = |3 - \nu|\)
- η. \(\alpha_\nu = συν\dfrac{\nu\pi}{2}\)
- θ. \(\alpha_\nu = \dfrac{3^\nu}{\nu}\)
- ι. \(\alpha_\nu = (-1)^\nu \cdot (\nu+1)\)
- κ. \(\alpha_\nu = (-1)^\nu \cdot 2\)
- Να βρείτε τους πέντε πρώτους όρους των ακολουθιών:
- α. \(\alpha_1 = 3, \alpha_{\nu+1} = \dfrac{2}{\alpha_\nu}\)
- β. \(\alpha_1 = 1, \alpha_{\nu+1} = \alpha_\nu^2 - 2\)
- γ. \(\alpha_1 = 4, \alpha_{\nu+1} = 3(\alpha_\nu - 2)\)
- Να βρείτε αναδρομικούς τύπους για τις ακολουθίες:
- α. \(\alpha_\nu = \nu + 3\)
- β. \(\alpha_\nu = 3^\nu\)
\(α_1=3\) και \(α_{ν+1}=3^{ν+1}=3α^ν\)
- γ. \(\alpha_\nu = 2^\nu + 1\)
- δ. \(\alpha_\nu = 4\nu - 1\)
- Να βρείτε τον \(\nu\)-οστό όρο των ακολουθιών:
- α. \(\alpha_1 = 2, \alpha_{\nu+1} = \alpha_\nu + 3\)
έχουμε
\[ \begin{align} α_1&=2 \\ α_2&=α_1+3\\ α_3&=α_2+3 \\ α_4&=α_3+3\\ ....&=......\\ ....&=......\\ α_{ν}&=α_{ν-1}+3 \end{align} \]
Προσθέτοθμε κατά μέλη και θα έχουμε \(α_{ν}=2+(ν-1)3 \Rightarrow α_ν=3ν-1\)
- β. \(\alpha_1 = 2, \alpha_{\nu+1} = 4\alpha_\nu\)
έχουμε
\[ \begin{align} α_1&=2 \\ α_2&=4α_1\\ α_3&=4α_2 \\ α_4&=4α_3\\ ....&=......\\ ....&=......\\ α_{ν}&=4α_{ν-1} \end{align} \]
Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη και θα έχουμε \(α_{ν}=2\cdot 4^{ν-1}\)
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!